名校
1 . 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
是直角三角形；
(2)若
，
，求直线AB与平面
所成角的正弦值．
是直角三角形；(2)若
，，求直线AB与平面所成角的正弦值．
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627次组卷
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2卷引用：吉林省长春市第二实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
2 . 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面，且
，点
为线段
的中点．
平面
；
(2)求证：
平面
；
中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
平面；(2)求证：
平面；
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3 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为
，故其各个顶点的曲率均为
．如图，在直三棱柱
中，点A的曲率为
，N，M分别为AB，
的中点，且
．
平面
．
(2)证明：平面
平面．
(3)若
，求二面角
的正切值．
，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
平面．(2)证明：平面
平面．(3)若
，求二面角的正切值．
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4 . 在信息理论中，
和
是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：
，
，
，
，
，
．定义随机变量的信息量
，和的“距离”
．
(1)若
，求
；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为
，发出信号1接收台收到信号为1的概率为
．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用
，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：
．
和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．(1)若
，求；(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用
，表示结果）（ⅱ）记随机变量
和分别为发出信号和收到信号，证明：．
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624次组卷
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4卷引用：吉林省长春市实验中学2023-2024学年高三下学期对位演练考试数学试卷（七）
名校
5 . 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：
上的点
作曲线C的切线
与曲线C交于
，过点
作曲线C的切线
与曲线C交于点
，依此类推，可得到点列：，，，…，
，…，已知
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)记点
到直线
（即直线
）的距离为
，求证：
；
上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．(1)求数列
、的通项公式；(2)记点
到直线（即直线）的距离为，求证：；
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6 . 已知函数
.
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(3)设
是函数的两个极值点，证明：
.(1)当
时，求的图象在处的切线方程；(2)若函数
存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(3)设
是函数的两个极值点，证明：
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解题方法
7 . 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，
，直线PA与BC所成的角的正切值等于
、N分别是PB、PC的中点．
(2)证明：平面
平面ABCD；
(3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值．
中，底面ABCD是边长为2的正方形，，直线PA与BC所成的角的正切值等于、N分别是PB、PC的中点．
(2)证明：平面
平面ABCD；(3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值．
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8 . 记集合
无穷数列
中存在有限项不为零，
，对任意
，设
．定义运算
若
，则
，且
．
(1)设
，用
表示
；
(2)若
，证明：
：
(3)若数列满足
，数列
满足
，设，证明：
．
无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设．定义运算若，则，且．(1)设
，用表示；(2)若
，证明：：(3)若数列
满足，数列满足，设，证明：．
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9 . 如图，已知
平面ABC，
，
，
，
，
，点为
的中点平面
；
(2)求直线
与平面所成角的大小；
(3)若点
为
的中点，求点
到平面
的距离．
平面ABC，，，，，，点为的中点
平面；(2)求直线
与平面所成角的大小；(3)若点
为的中点，求点到平面的距离．
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10 . 如图，在四棱锥中，平面
平面，
，
，
.
；
(2)若
，求平面
与平面的夹角的余弦值.
中，平面平面，，，.
；(2)若
，求平面与平面的夹角的余弦值.
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7日内更新
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1068次组卷
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3卷引用：吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷
