1 . 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

2 . 已知在中，，，，记的面积为S．
(1)请利用所学过的相关知识证明：；
(2)已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围.

3 . 设函数是定义在的偶函数，且当时，，将函数中和两部分的表达式相加得到函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)讨论函数在定义域内的单调性，并证明.

4 . 2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.
(1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种?
(2)求X的分布列及均值.

5 . 已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求的坐标（用表示）；
(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.

6 . 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
(1)求一次数据能被软件准确分析的概率；
(2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大?

7 . 如图，在五面体中，，，平面平面,，，，.

(1)证明：平面；
(2)若点、分别为、的中点，证明：平面平面；
(3)求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

8 . 如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，.

(1)若，求的面积；
(2)①求的值；
②求的最大值.

9 . （1）若对恒成立，求的值；
（2）求的值域；
（3）正五棱锥的所有棱长均为，求此正五棱锥的表面积．

10 . 我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．

如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到．
(1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；
(2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系；
(3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式．