1 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.

2 . 已知，是的导函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．
①求证：对于任意的实数x，都有；
②若关于x的方程有两个实数根，且，证明：．

4 . 设l为曲线C：在点处的切线.
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点之外，曲线C在直线l的下方；
（3）求证：（其中，）.

5 . 已知数列满足，，，又．
（Ⅰ）求证数列是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）若的前和为，．
①判断并证明数列的单调性；
②求证：．

6 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，且，证明：.

7 . 已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若是的一个极值，求满足此条件的实数的值；
(3)若是方程的两个不相等的实数根，求证：.
（注：是的导函数）

8 . 已知函数，若数列的各项由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整数；
②求函数图象在处的切线在轴上的截距；
③判断是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列的项依次为．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：；
(2)是否存在实数使得为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考数据：．

9 . 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与的交点为.

(1)若，求抛物线的方程及焦点的坐标；
(2)若点为轴正半轴上的任意一点，过点作直线交抛物线于两点，点关于原点的对称点，连接交抛物线于点，求证：.

10 . 已知函数，其中.
(1)当时，，求a的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.