1 . 某校高一某班的某次数学测试成绩（满分100分，单位：分）如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，   ，90，95，由于保存不利，其中内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图（如图）也被墨水覆盖了部分区域．

   

(1)求成绩在区间内的频率及抽样人数；
(2)求成绩在区间内的频数，并计算频率分布直方图中区间对应的小长方形的高．

2 . 如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形的四个顶点均在边界上，扇形的半径，，，，分别交于，.

(1)当时，求边的长；
(2)当矩形的面积取最大值时，求的值.

3 . 在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量.
(1)设为函数的有序相伴向量，求实数的值；
(2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)将（1）中所得函数的图象向左平移得到函数.已知，，请问在函数图象上是否存在一点，使得成立.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知函数.
(1)若，，设函数，请求出的值域并求证：；
(2)若，，，记，且是一个三角形的三条边长，请写出方程的所有正整数解的集合；
(3)若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边，求证：在时恒成立.

5 . 如图，等腰两腰分别交于点D，E，点A在外，点B，C在上（不与D，E重合），连结．已知，设．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)设的周长分别为，求证：．

6 . 如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为M、N，连接．

(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为．
①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）．

7 . 手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：

   

(1)请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）；
(2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率；
(3)现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.
方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；
方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；
假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.

8 . 如图，在矩形中，，，，，直线与垂直，垂足为点.

   

(1)求的值；
(2)若，将用基底线性表示，并求出的最大值.

9 . 如图所示，在单位圆中，，已知角的终边与单位圆交于点，作，垂足为点M，作交角的终边于点T.

(1)请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式（仅用含的式子表示）；
(2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明

10 . 观察教室内的线与面，找出直线与平面垂直的例子．