1 . 已知函数过原点．
(1)求的值；
(2)求函数在上的零点；
(3)下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据．

	0
	0	1	0		0

2 . 为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域进行改造．如图，（百米），（百米），，，，，，分别为边，，的中点，所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道，，，以及两条主干道，．（单位：百米）

(1)若，求主干道的长；
(2)当变化时，
①证明运动健身区域的面积为定值，并求出该值；
②求4条观景栈道总长度的取值范围．

3 . 养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．

   

(1)若测得EC的长为80米，求的长．
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）

4 . 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．

(1)如图1，求的最小值；
(2)如图2，证明：为定值；
(3)如图3，证明：到的距离为定值．

5 . 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T.
(1)已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；
(2)已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求.
(3)已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

6 . 某市遇到洪涝灾害．在该市的某湖泊的岸边的O点处（湖岸可视为直线）停放着一艘搜救小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑（假设小船沿直线匀速漂移）．

(1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度（请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h）．
现有两种方案：
①如图1，在湖岸设置一个观察点A，A点距离O点20m．当小船在漂移到B处时，测得；经过15s，小船漂移到C处，测得．又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°．请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
②如图2，在岸边设置两个观察点A，B，且A，B之间的直线距离为20m，当小船在C处时，测得和；经过20s，小船漂移到D处，测得和．请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
(2)如图3，若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船，在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°，漂移的速度为2.2km/h，于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船．问安全员是否能追上小船？请说明理由．
参考数据：，，，．

7 . 已知椭圆的上、下顶点分别为椭圆上的点到直线的距离和其与的左焦点的距离之比始终为为上一点，直线分别交于记，的面积分别为.
(1)求；
(2)若和的横坐标异号，，求的面积.

8 . （1）利用向量的方法证明：
（2）探索是否可以用向量法证明：在中，若，则，若可以，请给出详细证明过程.

9 . 某公园湖心有一浮动观景亭，湖边一点到观景亭的一座桥长为米.现公园打算升级改造，在湖边选取两个点，，新建两座桥梁，，且.

   

(1)若为中点，且米，求两座桥梁长度之和的值；
(2)若，已知玻璃桥的建设成本为2千元/米，普通桥的建设成本为1千元/米，若用玻璃桥，用普通桥梁，不考虑其他费用支出，请你帮公园规划部计算一下，建设这两座桥梁总预算成本的最大值（单位：千元）

10 . 已知，设.
(1)若，求函数的单调减区间；
(2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值.