名校
1 . 设
，我们常用
来表示不超过
最大整数.如：
.
；(2)在锐角
中，角
所对的边分别为
，且
，则
的最小值为
，求
的值.(3)已知
，若对
，使不等式
成立，求实数
的取值范围.
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2 . 给出以下两个数学运算（符号）定义：
①若函数
，则
，其中
称为函数的
次迭代.如：
.
②对于正整数
，若
被除得的余数为，则称
同余于，记为
.如：
.
(1)若函数
，求
；
(2)设
是一个给定的正整数，函数
记集合
.
①证明：当
时，
；
②求
并猜想
.
①若函数
，则，其中称为函数的次迭代.如：.②对于正整数
，若被除得的余数为，则称同余于，记为.如：.(1)若函数
，求；(2)设
是一个给定的正整数，函数记集合.①证明：当
时，；②求
并猜想.
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解题方法
3 . 定义：函数
满足对于任意不同的
，都有
，则称为
上的“类函数”．
(1)若
，判断是否为
上的“2类函数”；
(2)若
为
上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为
上的“2类函数”，且
，证明：
，
，
．
满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．(1)若
，判断是否为上的“2类函数”；(2)若
为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；(3)若
为上的“2类函数”，且，证明：，，．
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2024-06-04更新
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378次组卷
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2卷引用：重庆市求精中学校2023-2024学年高二下学期第二阶段考试数学试题
名校
4 . 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为
种，可以用全排列
减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：
，其中
．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处阶可导，则有：
，注
表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出
的值；
(2)估算
的大小（保留小数点后2位），并给出用
和表示的估计公式；
(3)求证：
，其中．
封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：(1)求出
的值；(2)估算
的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；(3)求证：
，其中．
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5 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记
表示不超过x的最大整数，则
称为“高斯函数”．例如：
，
．
(1)设
，
，求证：
是的一个周期，且
恒成立；
(2)已知数列
的通项公式为
，设
．
①求证：
；
②求
的值．
表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，．(1)设
，，求证：是的一个周期，且恒成立；(2)已知数列
的通项公式为，设．①求证：
；②求
的值．
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6 . 已知与
都是定义在
上的函数，若对任意
，
，当
时，都有
，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断
是否为函数
的一个控制函数，并说明理由；
(2)设
的导数为
，求证：关于的方程
在区间
上有实数解；
(3)设
，函数是否存在控制函数?若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．(1)判断
是否为函数的一个控制函数，并说明理由；(2)设
的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)设
，函数是否存在控制函数?若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
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7 . 已知函数
（
，
）的图像两相邻对称轴之间的距离是
，若将
的图像上每个点先向左平移
个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数
为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数
的图像在区间
（a，
且
）至少有10个零点，在所有满足条件的区间中，求
的最小值．
（，）的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数为偶函数．(1)求
的解析式；(2)若对任意
，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数
的图像在区间（a，且）至少有10个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值．
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8 . 将所有平面向量组成的集合记作
，f是从到的映射，记作
或
，其中
，
，，
，
，
都是实数．定义映射
的模为：在
的条件下
的最大值，记作
．若存在非零向量
，及实数
使得
，则称为的一个特征值．
(1)若
，求；
(2)若
，计算的特征值并求出相应的
；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
(3)若
，要使有唯一的特征值，实数
，
，
，
应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②
，并验证满足这两个条件．
，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．(1)若
，求；(2)若
，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）(3)若
，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．
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解题方法
9 . 帕德近似是法国数学家亨利
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，
，
，注：
，
，
，
，
已知函数
.
(1)求函数在处的
阶帕德近似
，并求
的近似数
精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：
；
②若
恒成立，求实数的取值范围.
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数
.(1)求函数
在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到(2)在（1）的条件下：
①求证：
；②若
恒成立，求实数的取值范围.
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2024-04-13更新
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1079次组卷
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7卷引用：重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题
重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期3月月考数学试题（已下线）模块3 第8套 全真模拟篇安徽省黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测数学试题（已下线）专题12 帕德逼近与不等式证明【练】天津市武清区杨村第一中学2024届高考数学热身训练卷河北省秦皇岛市部分示范高中2024届高三下学期三模数学试卷
2024·全国·模拟预测
10 . 已知函数
．
(1)若
，讨论的单调性；
(2)若
，求在
上的最小值
，并判断方程
的实数根个数．
．(1)若
，讨论的单调性；(2)若
，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数．
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