1 . 已知函数.
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若函数，是的导函数，证明：存在唯一的零点，且.

2 . 已知函数．
(1)证明：函数只有一个零点；
(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围．

3 . 设，满足．
(1)求a的值，并讨论函数的奇偶性；
(2)若函数在区间严格减，求b的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无穷正整数列，使得成立．

4 . 已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线过点，求a的值；
(2)证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
(3)当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.

5 . 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若，证明：在区间内有唯一的零点．

6 . 已知函数．
(1)若的最小值为，求a的值；
(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．

7 . 已知函数， 其中为常数，且.
(1)若是奇函数， 求a的值；
(2)证明：在上有唯一的零点；
(3)设在上的零点为，证明：.

8 . 已知函数，．
(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；
(2)判断函数的零点个数．

9 . 已知函数．
(1)设．
①判断在上的单调性，并用定义证明；
②判断在上是否存在零点．
(2)当时，讨论零点的个数．

10 . 已知，函数．
(1)若和的最小值相等，求的值；
(2)若方程恰有一个实根，求的值．