1 . 已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数．

2 . 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时，求证：．

3 . 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)试比较与的大小，并说明理由；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.

4 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设有两个不同的零点，求证：．

5 . 已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，，证明：，并指出的取值范围．

6 . 已知函数.
(1)当时，恒成立，求的取值范围；
(2)若曲线的一条切线为，证明：当时，恒成立.

8 . 已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点.

9 . 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．

10 . 已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.