1 . 已知函数.其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当，求证：.

2 . 已知函数，其导函数的图象关于轴对称．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．

3 . 已知函数，为的导函数.
（1）求证：在上存在唯一零点;
（2）求证: 有且仅有两个不同的零点.

4 . 已知函数，，其中是自然对数的底数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）当时，关于不等式恒成立，求整数的最大值；
（3）设函数，若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.(取，)

5 . 已知函数，其中．
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且．
①求实数a的取值范围；
②求证：．

6 . 已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，．

7 . 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，证明：在上恒成立.

8 . 如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点分别在与上），为切点，设.

（1）试求观光道路长度的最大值；
（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值.

9 . 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上单调增，求的取值范围；
（3）若函数在定义域上不单调，试判定的零点个数，并给出证明过程．

10 . 已知函数，.
（1）若函数的图象与直线相切，求实数的值；
（2）设函数在区间内有两个极值点.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.