1 . 已知函数，其中.
(1)证明：当时，；
(2)若时，有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立.
(1)证明无穷数列为等比数列，并求；
(2)若，，求证：；
(3)当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式.

3 . 设函数().
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，，求a的取值范围.

4 . 已知.
(1)证明：是奇函数；
(2)若，证明在上有一个零点，且.

5 . 设函数，．
(1)试判断的单调性；
(2)证明：对任一，有，当且仅当时等号成立．

6 . 已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若，求的取值范围；
(3)设，证明：．

7 . 已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：

8 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.

9 . 已知，函数，．
(1)当时，判断函数的零点个数；
(2)求证：若函数有极大值点，则．

10 . 已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)证明：当时，.