1 . 已知数集．若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”．已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和．
(1)若，，求；（用数值表示）
(2)证明：；
(3)若n为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合A．

2 . 小郅同学的左、右口袋中分别装有3个糖果，每次取糖他都有的概率从右口袋中取，每次取糖过程相互独立.当他发现某个口袋中没有糖时停止取糖.
(1)求当他右口袋为空时，左口袋中剩余2个糖的概率，并求出的值使最大.
(2)若，求小郅最终发现其右口袋没有糖的概率.
(3)对于，求证成立不等式：.

3 . 已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系.
(1)若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由；
①；②.
(2)若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称；
(3)已知函数与具有关系，令.
①判断函数的单调性；
②证明：.

4 . 如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．

(1)证明：；
(2)当最小时，
①求，两点间的最小距离；
②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．

5 . 在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2．
(1)求，的方程；
(2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求面积的最小值．

6 . 如图：在空间直角坐标系中有椭圆与正交，为的右顶点，为上一点，平面内的直线经过并与交于两点，在平面直角坐标系与中（规定垂直于平面系观察时轴、轴分别为对应平面系的纵轴，正方向竖直向上，横轴正方向水平向右），不与坐标轴平行的直线与的斜率分别为.
   
(1)若，当三棱锥体积取最大值时，求；
(2)探究：是否存在定点使平面平面不论取何值恒成立？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）．

   

(1)若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离；
(2)若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值．

8 . 开区间上的连续函数有最值吗？

9 . 记函数.
(1)证明：；
(2)记的定义域为．若任意，求的取值范围．

10 . 在平面直角坐标系中，定义：如果曲线和上分别存在点，关于轴对称，则称点和点为和的一对“关联点”．
(1)若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程和的最小值；
(2)若上任意一点的“关联点”为点，求的最大值；
(3)若和在区间上有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围．