名校
1 . 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中
次，第二组投篮2次，投中
次，求
；
(3)记
表示小明投篮
次，恰有2次投中的概率，记
表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：
.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中
次，第二组投篮2次，投中次，求；(3)记
表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.
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2023-11-11更新
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2923次组卷
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4卷引用：湖北省部分名校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题
名校
解题方法
2 . 已知数列
的前
项和为
，满足
；数列
满足
，其中
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)对于给定的正整数
，在
和
之间插入
个数
，使
，
成等差数列.
（i）求
；
（ii）是否存在正整数
，使得
恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列
的通项公式；(2)对于给定的正整数
，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求
；（ii）是否存在正整数
，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
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2024-03-19更新
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2012次组卷
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6卷引用：湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
3 . 已知数列
是首项为1的等差数列，数列
是公比不为1的等比数列，满足
，
，
．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列
的前项和；
(3)若数列
满足
，
，记
．是否存在整数，使得对任意的
都有
成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足，，．(1)求
和的通项公式；(2)求数列
的前项和；(3)若数列
满足，，记．是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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2023-11-30更新
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1173次组卷
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3卷引用：天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷
名校
解题方法
4 . 已知数列的前项和满足
，
，
.
(1)求的通项公式；
(2)数列，
满足
，且
，求证：
.
的前项和满足，，.(1)求
的通项公式；(2)数列
，满足，且，求证：.
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2022-09-23更新
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1983次组卷
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2卷引用：THUSSAT中学生标准学术能力2022-2023年度高三诊断性测试9月测试数学（理科）试题
名校
解题方法
5 . 设是公差不为零的等差数列，满足
，
，设正项数列的前n项和为，且
．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在
和
之间插入1个数
，使、、成等差数列；在和
之间插入2个数
、
，使、、、成等差数列；…，在
和
之间插入n个数
、
、…、
，使、、、…、、成等差数列，求
；
(3)对于（2）中求得的
，是否存在正整数m、n，使得
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，请说明理由．
是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且．(1)求数列
和的通项公式；(2)在
和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求；(3)对于（2）中求得的
，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
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2022-11-06更新
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1447次组卷
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7卷引用：上海市进才中学2022届高三下学期期中数学试题
上海市进才中学2022届高三下学期期中数学试题（已下线）专题06数列必考题型分类训练-3（已下线）专题1 数列的单调性 微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法湖北省部分名校2023届高考适应性考试数学试题上海市行知中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题上海市吴淞中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（已下线）专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点2 数列存在型问题的解法
6 . 已知数列是等比数列，
，
，
，
成等差数列.
(1)求的通项公式和
；
(2)数列满足
；当
时，
；当
时，
.记数列的前项和为.
①若
，求
的值；
②若
，求证：
.
是等比数列，，，，成等差数列.(1)求
的通项公式和；(2)数列
满足；当时，；当时，.记数列的前项和为.①若
，求的值；②若
，求证：.
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解题方法
7 . 已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的范围；
(2)证明：对任意正整数，都有不等式
成立．
．(1)若
恒成立，求实数的范围；(2)证明：对任意正整数
，都有不等式成立．
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8 . 设
，y是不超过x的最大整数，且记
，当
时，
的位数记为
例如：
，
，
．
(1)当
时，记由函数
的图象，直线
，
以及x轴围成的平面图形的面积为
，求
，及
；
(2)是否存在正数M，对
，
，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
(3)当，
时，证明：
．
，y是不超过x的最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，．(1)当
时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；(2)是否存在正数M，对
，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；(3)当
，时，证明：．
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名校
9 . 若数列
是公差为2的等差数列，数列
满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.
对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
是公差为2的等差数列，数列满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求数列,的通项公式；
（2）设数列
满足
，数列的前n项和为，若不等式
对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
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2018-11-07更新
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2175次组卷
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11卷引用：苏教版高中数学 高三二轮 专题20 数列的通项与求和 测试
苏教版高中数学 高三二轮 专题20 数列的通项与求和 测试江西省南昌市第二中学2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题【全国百强校】甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题【全国百强校】福建省厦门外国语学校2019届高三11月月考数学（理）试题【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考数学（理科）试题安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第六中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题（已下线）【新东方】双师324高二下（已下线）第十二课时 课后 第四章章末复习课
解题方法
10 . 已知数列满足，
（
），数列的前n项和为，且满足
（）.
（1）求数列，的通项公式；
（2） 记
， 求证：
①当n≥2且
时，
；
②当时，
.
满足，（），数列的前n项和为，且满足（）.（1）求数列
，的通项公式；（2） 记
， 求证：①当n≥2且
时，；②当
时，.
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