1 . 已知，点在函数的图像上，其中．
(1)证明数列是等比数列；
(2)设，求及数列的通项；
(3)记，求数列数列的前项和，并证明．

2 . 已知正项数列，，，是公差为2的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)记为数列的前n项和，求.

3 . 已知等比数列{a_n}的各项均为正数，2，，4成等差数列，且满足=4，数列{b_n}的前n项和S_n=b_n，n∈N*，且b₁=1.
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设，n∈N*，数列{c_n}的前n项和为A_n，求证：；
（3）设d_n=(1)ⁿ[+()]，求{d_n}的前n项和T_n.

4 . 已知数列的前项和为，，．
(1)分别计算、、，猜想通项公式，并用数学归纳法证明之；
(2)求数列的前项和．

5 . 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为．

(1)写出，，，的值；
(2)猜想数列的表达式，并写出推导过程；
(3)求证：．

6 . 已知数列满足：，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．

7 . ①公比为2，且是与的等差中项；②且为递增数列，在①②中任选一个，补充在下列横线上并解答.
已知等比数列中，为数列的前项和，若___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求证：.

8 . 已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．

9 . 已知数列满足：，．
(1)求证：数列和均为等比数列；
(2)设，数列的前n项和为，求证：．

10 . 已知正项等差数列与等比数列满足，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前2n项和；
(3)令，求证.