1 . 如图，在棱长为1的正四面体中，是的中点，，分别在棱和上（不含端点），且平面.

(1)证明：平面；
(2)若为中点，求平面截该正四面体所得截面的面积；
(3)当直线与平面所成角为时，求.

2 . 球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.

   

已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点．
(1)球面的三条边长相等（称为等边球面三角形），若，求球面的内角和；
(2)类比二面角，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.
其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
（ⅰ）求球面的三个内角的余弦值；
（ⅱ）求球面的面积.

3 . 如图所示，四棱台，底面为一个菱形，且. 底面与顶面的对角线交点分别为，. ，，与底面夹角余弦值为.

(1)证明：平面；
(2)现将顶面绕旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与的夹角正弦值为，此时求的值()；
(3)求旋转后与的夹角余弦值.

4 . 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.

(1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；
(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：.

5 . 已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（       ）

A．移动两次后，“”的概率为

B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于

C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于

D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0）

6 . 已知棱长为1的正方体是空间中一个动平面，下列结论正确的是（       ）

A．设棱所在的直线与平面所成的角为，则

B．设棱所在的直线与平面所成的角为，则

C．正方体的12条棱在平面上的射影长度的平方和为8

D．四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为8

7 . 在正三棱锥中，两两垂直，，点是侧棱的中点，在平面内，记直线与平面所成角为，则当该三棱锥绕旋转时的取值可能是（       ）

A．53°

B．60°

C．75°

D．89°

8 . 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．
两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设,四元数．记表示的共轭四元数．
（i）计算；
（ii）若，求；
（iii）若，证明：；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设．
（i）证明：;
（ii）若是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．

9 . 小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；
      
(1)求平面与平面所成角（用表示）；
(2)如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用表示）.

10 . 如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．
   
(1)求；
(2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明．