1 . 椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线
与 轴相交于点 ，，过点的直线与椭圆相交于 两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线 的方程．

2 . 如图，双曲线的离心率为，分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．

(1)求双曲线的方程；
(2)设和是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线交双曲线于另一点E．证明：直线垂直于x轴．

4 . 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线的方程；
(3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．

5 . 已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为.
①求的取值范围；
②若，求直线的斜率.

6 . 给出下列四个命题：
①若，则；
②当时，的最小值为4；
③已知是等差数列的前项和，若，则；
④过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，则.
其中正确命题的序号为___________.

7 . 已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点．
①若的面积为，求直线l的方程；
②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点．

8 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，、分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；
(3)设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．

9 . 已知双曲线中，，虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.

10 . 已知椭圆的短轴长为4，离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)设O为原点，椭圆的下顶点为B，过点B的直线l与椭圆交于点P（点P异于椭圆的顶点），直线l与x轴交于点Q.
（i）若点P在第一象限且直线OP的斜率为，求直线l的斜率；
（ii）设点N的坐标为，若，求直线l的斜率.