1 . 已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.

(1)求，的方程；
(2)求证：直线和的斜率之积为定值；
(3)求证：为定值.

2 . 已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．

4 . 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.

5 . 已知双曲线，离心率为，，为其左右焦点，为其上任一点，且满足，．

(1)求双曲线的方程；
(2)已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中是坐标原点）．

6 . 已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．

7 . 已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．
(1)求C的方程．
(2)A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．

8 . 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.

9 . 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．

10 . 如图，双曲线的左顶点为P，左、右焦点分别为，以线段为直径的圆O与双曲线在第一象限内交于Q点，与其渐近线交于E点，且直线与双曲线的斜率小于O的渐近线平行.

(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线交双曲线于B点，且，求的值.