1 . 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：______.（用，表示）
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.

2 . 设，函数，.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，，试证明：.

3 . 已知函数为奇函数．
(1)求a的值；
(2)设函数，
i．证明：有且只有一个零点；
ii．记函数的零点为，证明：．

4 . 已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设，是g（x）的两个零点，证明：．

5 . 已知正△ABC的边长为，内切圆圆心为，点P满足．
(1)求证：为定值并求此定值；
(2)把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围；
(3)若，，求的最大值．

7 . 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

(1)延长交于点Q（图1），求的值；
(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．

8 . 已知函数.
（1）求证：是奇函数；
（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.

9 . 中，为的中点，为外心，点满足.

（1）证明：；
（2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围.