1 . 已知数列满足
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求的前项和

2 . 设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求；
(3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

3 . 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为a_n万元．
(1)求a₁、a₂；
(2)设， 证明数列{b_n}为等比数列，并求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2=0.3 ）；
(3)若，求数列的前n项和S_n．

4 . 1.已知数列满足，．
(1)设，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．

5 . 某项测试有道必答题，甲和乙参加该测试，用数列和记录他们的成绩．若第题甲答对，则，若第题甲答错，则；若第题乙答对，则，若第题乙答错，则．已知，，则________．

6 . 已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且，a_n，S_n等差数列．
(1)判断数列{a_n}是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由；
(2)若b_n＝﹣2log₂a_n，设c_n＝，求数列{c_n}的前n项和T_n；
(3)若不等式T_n≤m²﹣m﹣1对一切正整n恒成立，求实数m的取值范围．

7 . 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）设集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，求的最小值.

8 . 已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
（1）求和的通项公式;
（2）求数列的前n项和;
（3）设集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，求的最小值.

9 . 设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
① 求；
② 对于①中的，是否存在正整数、，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

10 . 已知数列满足：（），设的前项和为，则 ______；