1 . 探索与发现
【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：

如图1，在中，点是的中点，点是边上一点，连接． 甲同学：延长至点，使，连接，如图2所示． 是的中点，． 又，，．（依据1：______） 乙同学：过点作的平行线交的延长线于点，如图3所示． ，． 又，，．（依据2：______）

（1）上述过程中的依据1是______，依据2是______．（填“”“”或“”）
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图4，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．
（2）求证：．
（3）若，则线段、、之间的等量关系为______．
【拓展应用】
（4）如图5，在中，，，以为顶点作，使，，，连接，为线段的中点．将绕点在平面内旋转，当时，请直接写出线段的长．

2 . 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为（     ）

A．9

B．10

C．11

D．12

3 . 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________．

4 . 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为__________．

   

5 . 如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线，交于点E，交于点F，连接．则的周长为______

6 . 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E，，，则线段的长为______.

7 . 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接分别交，于点D，E．若，则的大小为______°．

8 . 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（       ）

A．

B．

C．3

D．4

9 . 已知：如图，在中，平分交于点．

(1)求作：直线，使垂直平分，交于点，交于点，垂足为点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；如完成有困难，可画出草图后解答（2）题）
(2)在（1）得到的图中，连接、．求证：．

10 . 如图，在中，点在边上，且，，交的延长线于点．若，，则边的长为__________．