1 . 在中，的平分线交直线于点、交的延长线于点，连接．

(1)如图，若，是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；(提示：连接)
(2)如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，那么又是怎样的形状．（直接写出结论）

2 . 【计算与推理】
（1）如图1，，与交于点，为的中点，，，则的长为_______；

（2）数学课上张老师拿了一块大三角板和一块小三角板，其中，按如图2所示位置放置，使两个三角板的角的顶点重合．连接、，当绕点顺时针旋转时，试判断，的值是否变化？如果不变，请求出，的值，如果变化，请说明是如何变化并加以证明：

【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含角的直角三角板和按如图3所示位置放置，其中，含有角的顶点重合，分别延长交于点，连接，得到；
第二步：取的中点，分别连接，，得到．
请问，按上述操作，裁得的部件是否符合要求？请说明理由．

3 . 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（       ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

4 . 在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．

小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则            ．
(2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：．

5 . 综合探究：
如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，．

(1)如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由．

6 . 综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．

分析探究：
（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为     ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B和点C在x轴上，点A在y轴上，，，且a，b满足．

(1)证明为等边三角形；
(2)现有一动点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为1个单位长度每秒，连接，在的下方作等边三角形过点Q作轴，垂足为D，设点P的运动时间为t秒，的长度为d，求d与t之间的关系式；（用含t的式子表示d）
(3)在（2）问的条件下，已知，当为等腰直角三角形时，求t的值，并求出此时直线与x轴的交点E的坐标．

9 . 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图1中的度数：_______；
(2)拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2），判断的形状是_______，并说明理由；
(3)迁移探究
如图3，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长：_______．