1 . 已知数列
．求：
(1)数列
的通项公式；
(2)数列的前
项和
的最大值．
．求：(1)数列
的通项公式；(2)数列
的前项和的最大值．
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7日内更新
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718次组卷
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2卷引用：2024年山东省春季高考二模考试数学试题
名校
解题方法
2 . 已知数列，
满足
，
，且
是等差数列.
(1)若是公比为2的等比数列，求的通项公式；
(2)记，
分别为，的前项和，证明：
.
，满足，，且是等差数列.(1)若
是公比为2的等比数列，求的通项公式；(2)记
，分别为，的前项和，证明：.
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名校
解题方法
3 . 已知是数列的前n项和，
是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．(1)求
的表达式和数列的通项公式；(2)证明：
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4 . 设正整数
，
，
，这里
. 若
，且
，则称
具有性质
.
(1)当
时，若
具有性质，且，
，
，令
，写出
的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：
；
②求
的值.
，，，这里. 若，且，则称具有性质.(1)当
时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；(2)若
具有性质：①求证：
；②求
的值.
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解题方法
5 . 已知数列的前n项和为．若对每一个
，有且仅有一个
，使得
，则称为“X数列”.记
，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，
，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：
．
的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若
的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列
为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
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6 . 已知数列的前项和为，且满足
．
(1)若
成等比数列，求的值；
(2)若数列
为等比数列，
，求数列的前项和．
(3)设
，直接写出数列
的最小项．
的前项和为，且满足．(1)若
成等比数列，求的值；(2)若数列
为等比数列，，求数列的前项和．(3)设
，直接写出数列的最小项．
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7 . 在数列中，
，对任意正整数，均有
.数列满足：
.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
，求数列的前项和.
中，，对任意正整数，均有.数列满足：.(1)求数列
和的通项公式；(2)若
，求数列的前项和.
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名校
解题方法
8 . 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为
，古堡乙闯关成功的概率为
.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为
，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为
；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为
.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为
，第局闯关成功的概率为
.
（i）求和的表达式；
（ii）当
时，求证：
.
，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为.(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为.（i）求
和的表达式；（ii）当
时，求证：.
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9 . 已知各项均为正数的等比数列的首项
．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列
的前项和．
的首项．(1)求数列
的通项公式；(2)求数列
的前项和．
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10 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．的通项公式；
(2)证明：当
时，
(3)若数列满足
，对于，证明：
．
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．
的通项公式；(2)证明：当
时，(3)若数列
满足，对于，证明：．
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