名校
解题方法
1 . 已知点
，
，
，设
，
．
(1)求
，
夹角的余弦值．
(2)若向量
，
垂直，求
的值．
(3)若向量
，
平行，求
的值．
，，，设，．(1)求
，夹角的余弦值．(2)若向量
，垂直，求的值．(3)若向量
，平行，求的值．
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2022-05-10更新
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992次组卷
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22卷引用：江苏省泰州市田家炳中学2017-2018学年度第二学期高二第二次学情调研考试数学（理）
江苏省泰州市田家炳中学2017-2018学年度第二学期高二第二次学情调研考试数学（理）陕西省西安中学2017-2018学年高二(平行班)上学期期中数学(理)试题陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学(理)试题（已下线）[新教材精创] 1.3 空间向量及其运算的坐标表示(提高练) -人教A版高中数学选择性必修第一册（已下线）【新教材精创】1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系B提高练-人教B版高中数学选择性必修第一册湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）考点39 空间向量的运算与应用（考点专练）-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题（已下线）1.3 空间向量及其坐标的运算（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教版A版）（已下线）专题1.2 空间向量及其运算的坐标表示（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）（已下线）专题1.1 空间向量及其运算（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教B版）（已下线）第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）-【帮课堂】黑龙江省七台河市勃利县高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题江苏省盐城市滨海县五汛中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）突破1.3 空间向量及其坐标表示（课时训练）辽宁省沈阳市东北育才学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省肥东凯悦中学2021-2022学年高二上学期第一次自主检测数学试题（已下线）第06讲 空间向量及其运算的坐标表示 （2）福建省永春县第一中学2023-2024学年高二上学期8月月考数学试题（已下线）第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（7大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）广东省清远市连南瑶族自治县民族高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题湖南省永州市祁阳县第四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题3 空间向量线性运算（苏教版）
名校
解题方法
2 . 给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则与平行 |
B．直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 |
C．平面､ 的法向量分别为 ， ，则 |
D．已知直线过点 ，且方向向量为 ，则点 到的距离为 |
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2022-04-30更新
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725次组卷
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6卷引用：江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高二下学期期中数学试题
江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高二下学期期中数学试题福建省漳州市第三中学2022-2023学年高二下学期3月教学质量检测数学试题（已下线）专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）安徽省太和中学2022-2023学年高二上学期数学竞赛试卷天津市第一中学滨海学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题江苏省扬州市高邮市临泽中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
10-11高二下·河北·期中
名校
解题方法
3 . 已知在平行六面体
中，若同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线
的长为___________ .
中，若同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线的长为
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2022-04-20更新
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114次组卷
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10卷引用：2010-2011学年河北省沙城中学高二下学期期中考试数学试卷
（已下线）2010-2011学年河北省沙城中学高二下学期期中考试数学试卷浙江省绍兴市2019-2020学年高二上学期期末数学试题江苏省镇江市扬中市第二高级中学2021-2022学年高二下学期3月阶段测试数学试题江苏省扬州中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题沪教版(2020) 选修第一册 领航者 第3章 3.1 第2课时 空间向量及其运算(2)江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高二下学期第一次学情检测数学试题人教B版(2019) 选修第一册 北京名校同步练习册 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算（二）（已下线）第04讲 空间向量及其运算 （2）山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2023-2024学年高二上学期开学数学试题湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段考试数学试题
名校
解题方法
4 . 已知正方体，则下列结论中正确的有（ ）
，则下列结论中正确的有（ ）A． |
B． 平面 |
C．线段 被平面分成两段，其长线段与短线段长度比为 |
D．正方体被平面分割为大小两个几何体的体积比为 |
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解题方法
5 . 无穷符号
在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距
，则该标志的体积为___________ .
附：一个半径为
的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为
），球缺的体积公式为
.
在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为附：一个半径为
的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为），球缺的体积公式为.
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2022-04-12更新
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1167次组卷
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6卷引用：重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题
重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题（已下线）押全国卷（文科）第8，16题 立体几何小题-备战2022年高考数学（文）临考题号押题（全国卷）（已下线）押全国卷（理科）第8，16题 立体几何小题-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）考向29空间几何体的外接球和内切球问题（重点）（已下线）专题24 空间几何体的表面积与体积-2（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点1 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题（一）【培优版】
解题方法
6 . 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱
平面ABCD，且
，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段
上的一个动点（不含端点），过P、E、F的平面记为，Q在
上且
，则下列说法正确的个数是（ ）．
①三棱锥
的体积是定值；
②当直线
时，
；
③当
时，平面截棱柱所得多边形的周长为
；
④存在平面，使得点
到平面距离是A到平面距离的两倍．
的底面是边长为2的正方形，侧棱平面ABCD，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点（不含端点），过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的个数是（ ）．①三棱锥
的体积是定值；②当直线
时，；③当
时，平面截棱柱所得多边形的周长为；④存在平面
，使得点到平面距离是A到平面距离的两倍．| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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解题方法
7 . 已知空间几何体ABCDE中，
，
是全等的正三角形，平面
平面BCD，平面
平面BCD.
(1)若
，求证：
；
(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.
，是全等的正三角形，平面平面BCD，平面平面BCD.(1)若
，求证：；(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.
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2022高三·全国·专题练习
名校
解题方法
8 . 在棱长为1的正方体中，
为线段
的中点，
是棱
上的动点，若点
为线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-02-21更新
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1020次组卷
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7卷引用：专题37 两直线位置关系-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】
（已下线）专题37 两直线位置关系-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（已下线）专题18 立体几何中的最短路径问题及体积、表面积最值问题-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题8-3 立体几何压轴小题：动点与轨迹、距离最值-3（已下线）高一下期中真题精选（易错60题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（人教A版2019必修第二册）（已下线）2.3.4 两条平行直线间的距离（分层作业）（4种题型分类基础练+能力提升练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）浙江省金华第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题浙江省金华市武义第一中学2023-2024学年高二上学期12月检测1数学试题
名校
解题方法
9 . 已知单位向量
，
，
两两的夹角均为
，若空间向量
满足
，则有序实数组
称为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作
，则下列命题中，真命题有（ ）
，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题中，真命题有（ ）A．已知 ， ，则 |
B．已知 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量， 的夹角取得最小值 |
C．已知 ， ，则 |
D．已知 ， ， ，则三棱锥 的表面积 |
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2021-12-02更新
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438次组卷
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8卷引用：人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 第1.1~1.3节综合训练
人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 第1.1~1.3节综合训练人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 第1.1节 综合训练北师大版(2019) 选修第一册 必杀技 第三章 §2，§3 综合训练（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）人教B版(2019) 选修第一册 过关检测 第一章 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系沪教版(2020) 选修第一册 新课改一课一练 第3章 单元复习1.3空间向量及其运算的坐标表示辽宁省大连市第八中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
解题方法
10 . 如图所示的木塔项部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为______ ．（参考数据：
）
）
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