1 . 已知双曲线
，
是双曲线
上一点.
(1)若椭圆
以双曲线的顶点为焦点，长轴长为
，求椭圆的标准方程；
(2)设
是第一象限中双曲线渐近线上一点，
是双曲线上一点，且
，求
的面积
（
为坐标原点）；
(3)当直线
：
（常数
）与双曲线的左支交于
、
两点时，分别记直线
、
的斜率为
、
，求证：
为定值.
，是双曲线上一点.(1)若椭圆
以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；(2)设
是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；(3)当直线
：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.
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2023-12-13更新
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634次组卷
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5卷引用：上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题
上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题上海市宝山区上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月数学卓越测试题（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷04（压轴题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）广东省珠海市第一中学2023-2024学年高二上学期1月阶段测试数学试题（已下线）2024年高考数学全真模拟卷06（新题型地区专用）
2 . 已知双曲线
：
的渐近线为
，焦距为
，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、
、
、
.
(1)求的方程；
(2)证明：
；
(3)求
的取值范围.
：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求
的方程；(2)证明：
；(3)求
的取值范围.
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2024-04-29更新
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787次组卷
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2卷引用：上海市建平中学2024届高三下学期三模考试数学试题
名校
3 . 给出函数
，
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
，且
，求
的取值范围；
(3)若，非零实数
，
满足
，求证：
.
，(1)若
，求不等式的解集；(2)若
，且，求的取值范围；(3)若
，非零实数，满足，求证：.
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4 . 如图，在平面直角坐标系
中，设点
是椭圆C：
上一点，从原点O向圆
作两条切线，分别与椭圆C交于点
，直线
的斜率分别记为
.
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若
，求证：
；
(3)在（2）的情况下，求
的最大值.
中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为. (1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若
，求证：；(3)在（2）的情况下，求
的最大值.
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2023-09-12更新
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990次组卷
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6卷引用：2017届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题
2017届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题2016届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷（已下线）专题9.8 直线与圆锥曲线位置关系（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》山东省枣庄市滕州市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题云南省曲靖市第一中学2024届高三上学期阶段性检测（四）数学试题（已下线）专题06 椭圆的压轴题（6类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
5 . 设定义域为
的函数
在上可导，导函数为
.若区间
及实数满足：
对任意
成立，则称函数为上的“
函数”.
(1)判断
是否为
上的
函数，说明理由；
(2)若实数满足：
为
上的函数，求的取值范围；
(3)已知函数存在最大值．对于：：对任意
与
恒成立，：对任意正整数
都是上的
函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.
的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”.(1)判断
是否为上的函数，说明理由；(2)若实数
满足：为上的函数，求的取值范围；(3)已知函数
存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.
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6 . 设函数
的表达式为
.
(1)求证：“
”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且
，求实数的取值范围.
的表达式为.(1)求证：“
”是“函数为偶函数”的充要条件；(2)若
，且，求实数的取值范围.
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7 . 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的
条切线
，则称是函数的“度点”．
(1)判断点
与点
是否为函数
的1度点，不需要说明理由；
(2)已知
，
．证明：点
是
的0度点；
(3)求函数
的全体2度点构成的集合．
是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．(1)判断点
与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；(2)已知
，．证明：点是的0度点；(3)求函数
的全体2度点构成的集合．
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2024-01-13更新
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1188次组卷
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10卷引用：上海市浦东新区2023届高三二模数学试题
上海市浦东新区2023届高三二模数学试题（已下线）专题02 函数及其应用上海市松江一中2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（已下线）重难点04导数的应用六种解法（1）上海市向明中学2024届高三下学期三模测试数学试卷安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第二次段考数学试题（已下线）专题19 导数综合-2江西省赣州市南康中学2024届高三上学期七省联考考前数学猜题卷（六）江苏省姜堰中学2024届高三下学期阶段性测试（2.5模）数学试题（已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2
8 . 函数
的表达式为
.
(1)若
，直线与曲线相切于点
，求直线的方程；
(2)函数的最小正周期是
，令
，将函数
的零点由小到大依次记为
，证明：数列
是严格减数列；
(3)已知定义在上的奇函数满足
，对任意
，当
时，都有
且
.记
，
.当
时，是否存在
，使得
成立？若存在，求出符合题意的
；若不存在，请说明理由.
的表达式为.(1)若
，直线与曲线相切于点，求直线的方程；(2)函数
的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；(3)已知定义在
上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.
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9 . 定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线
为曲线的“双重切线”．
(1)直线
是否为曲线
的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数
求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数
，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，
，若
（
），证明：
．
图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．(1)直线
是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数
求曲线的“双重切线”的方程；(3)已知函数
，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
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2024-03-21更新
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680次组卷
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4卷引用：上海市光明中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题
上海市光明中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题（已下线）专题16 对数平均不等式及其应用【练】广东省江门市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试题
名校
解题方法
10 . 记，
分别为函数，
的导函数.若存在
，满足
且
，则称
为函数与的一个“S点”.
(1)证明：函数
与
不存在“S点”；
(2)若函数
与存在“S点”，求实数
的值；
(3)已知
，
.若存在实数，使函数与在区间
内存在“S点”，求实数
的取值范围.
，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.(1)证明：函数
与不存在“S点”；(2)若函数
与存在“S点”，求实数的值；(3)已知
，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
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2023-11-13更新
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466次组卷
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3卷引用：上海交通大学附属中学2023届高三三模数学试题
