1 . 已知椭圆的焦距为8，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于两点，试问直线上是否存在一点，使为正三角形，若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若对任意，成立，求实数m的最大值．

3 . 如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.

(1)用x分别表示和，并求出x的取值范围；
(2)晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.

4 . 已知函数，．
(1)令，求的最小值；
(2)若对任意，且，有恒成立，求实数m的取值范围．

5 . 已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.

6 . 已知函数在处取得极值，其中，，为常数
(1)求，的值
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

7 . 在以为圆心，6为半径的圆A内有一点，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线，过点B的直线与曲线交于C、D两点，求的最大值；
(3)在圆上的任取一点Q，作曲线的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程．

8 . 已知命题p：，；命题q：关于x的方程有两个不同的实数根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

9 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)在（2）的条件下，证明：当时，．

10 . 已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值．