1 . 已知椭圆C：（a>b>0），四点P₁（1,1），P₂（0,1），P₃（–1，），P₄（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

2 . 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．

3 . 已知函数 ， ，且在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；
(3)设 为两曲线 ，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为，. 若取，试判断当直线，与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.

4 . 已知函数，.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若对，不等式成立.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：当时，不等式成立.

5 . 已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)记，设，为函数图象上的两点，且．
（ⅰ）当，时，若在点处的切线相互垂直，求证：；
（ii）若在点处的切线重合，求的取值范围．

6 . 已知椭圆：的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明：点关于直线的对称点在直线上．

7 . 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F₂三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．

8 . 设函数，表示导函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于.

9 . 已知，其中.
（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；
（2）求的极值；
（3）若函数有两个极值点，，证明.

10 . 设函数，的图象在点处的切线与直线平行.
(1)求的值；
(2)若函数（），且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.