1 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若为函数的极值点，求证：．

2 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值．

3 . 已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)点是抛物线上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过一定点．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

5 . 已知函数.
(1)时，求证：是曲线的一条切线；
(2)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值.

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别是，且椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点．

7 . 已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.

9 . 已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.

10 . 已知函数．
(1)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，且存在实数，使得．证明：在上存在唯一零点，且．