1 . 如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，

(1)证明：平面ABD；
(2)若，求二面角的余弦值．

2 . 在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.

(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；
(2)若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.

3 . 已知直角梯形ABCD如图1所示，其中，，E为线段AD的中点，．现将DCBE沿BE翻折，使得，得到的图形如图2所示，其中G为线段BE的中点，F为线段DE的中点.

(1)求证：平面BCDE；
(2)求直线DG与平面ABC所成角的正弦值．

4 . 已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q．
(1)求C的方程；
(2)证明，点Q的纵坐标为定值．

5 . 如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
   
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.

6 . 如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．

(1)求证：；
(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．

7 . 某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=60°，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．设点T为BC上的点．

(1)若点T为BC上的中点，证明：BC⊥平面PAT；
(2)若二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．

8 . 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，是正三角形，，E是棱PD的中点．

(1)证明：面平面ABCD；
(2)若二面角的大小为45°，求的边长．

9 . 如图所示，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的菱形，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小．

10 . 如图，是圆柱体的一条母线，为底面圆的直径，是圆上不与、重合的任意一点．

（1）求证：平面平面；
（2）若该圆柱体的轴截面是正方形，为圆弧的中点，求二面角的正弦值．