1 . 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.

2 . 已知椭圆E：过点，且焦距为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.

3 . 如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，.

(1)求证：；
(2)若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.

4 . 已知椭圆：，是的一个焦点，是上一点，为的左顶点，直线与交于不同的两点，．
(1)求的方程；
(2)直线，分别交轴于，两点，为坐标原点；在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

5 . 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．

(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；
(2)证明：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

6 . 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点A，直线过点且垂直于，交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．

7 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与相交于两点，与相交于两点，直线的斜率分别为，证明：.

8 . 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且.
   
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.

9 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
(1)求的方程；
(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.

10 . 如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．