1 . 如图，在四面体中，平面是中点，，点在线段上，且.

(1)若平面，求的值；
(2)若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值.

2 . 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点.
①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求面积的最小值.

3 . 四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点．

(1)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(2)当平面时，求的值；
(3)当时，求平面与平面所成角的大小．

4 . 一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点．

(1)求轨迹的方程及动点的轨迹方程；
(2)直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

6 . 设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.

7 . 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且.

(1)求翻折后线段的长；
(2)点满足，求与平面所成角的正弦值.

9 . 如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.

   

(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离.

10 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，，.

   

(1)证明：；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.