1 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．

2 . 已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6．
(1)求点到上的点的距离的最小值；
(2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．

3 . 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
(3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.

4 . 已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．

6 . 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．
   
(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

7 . 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值；
(3)求与平面所成角的正弦值．

8 . 如图，在三棱锥中，，，．

(1)证明：平面；
(2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角．

9 . 已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点.

10 . 如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，．

(1)求线段AM的长；
(2)若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值．