2 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．
（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？
（ⅱ）证明：不可能是的三等分线．

3 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值．

4 . 已知、，点满足．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．

5 . 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．

6 . 已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

8 . 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且.

(1)求的长度；
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由；
(3)过点作平面与直线垂直，求平面与平面所成锐二面角的最小值，并求此时平面截正方体所得截面图形的周长.

10 . 如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于、两点，与轴交于点.

(1)求以为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；
(2)判断直线与斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；
(3)求面积的最大值.