1 . 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.

(1)求证：直线平面；
(2)a为何值时，的长最小?
(3)为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.

2 . 如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为矩形，.

(1)求证：平面ABC；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)求点C到平面的距离.

3 . 已知椭圆：（）的离心率为，以短轴的两个端点和长轴的两个端点为顶点的菱形周长为.
(1)求的方程；
(2)若直线垂直于轴，且与交于，（位于第一象限），为轴正半轴上且在内部的一点，连接并延长分别交轴、于、，延长交于，连接，为线段的中点，求直线的斜率与直线的斜率之和的最小值.

4 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点.

(1)求证：；
(2)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；
(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．

6 . 如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.

(1)已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
(2)已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.

7 . 已知椭圆，经过，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值.

8 . 已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值.

9 . 如图，正四棱柱底面边长为，侧棱长为，为的中点，、分别为、上的点，且，求点到平面的距离．

10 . 如图所示，在正四棱柱中，是的中点，

(1)求到平面的距离；
(2)在棱上是否存在一点，使二面角为？若存在，建立适当坐标系，写出点坐标，若不存在，请说明理由.