1 . 已知有穷数列.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
   ①

   ②

（2）已知数列的“伴生数列”，且满足.若数列中存在相邻两项为，求证：数列中每一项均为.

2 . 斐波那契数列（ Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契（ Leonardodalibonace）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．记斐波那契数列为{a_n}，数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝1，a_n+1＝a_n+a_n﹣1（n≥2，n∈N*）．
（1）若{a_n+1﹣pa_n）（p＜0）是等比数列，求实数p的值；
（2）求斐波那契数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：从第二项起，每个偶数项的平方都比其前后两项之积少1．

3 . 现有m(m≥2)个不同的数P₁､P₂､P₃､…､P_n.将他们按一定顺序排列成一列.对于其中的两项P_i和P_j，若满足：1≤i<j≤m且P_i>P_j(即前面某数大于后面某数)，则称P_i与P_j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)､n､(n﹣1)､…3､2､1的逆序数为a_n.如排列2､1的逆序数a₁=1，排列3､2､1的逆序数a₂=3.
（1）求a₃､a₄､a₅；
（2）求a_n的表达式；
（3）令，证明b₁+b₂+…b_n<2n+3，n=1，2，….

4 . 对于项数为m（m∈N*，m＞1）的有穷正整数数列{a_n}，记b_k＝min{a₁，a₂，…，a_k}（k＝1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最小值，设由b₁，b₂，…，b_m组成数列{b_n}称为{a_n}的“新型数列”．
（1）若数列{a_n}为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{a_n}的“新型数列”{b_n}的所有项；
（2）若数列{a_n}满足且其对应的“新型数列”{b_n}的项数m∈[21，30]，求{b_n}的所有项的和；
（3）若数列{a_n}的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{a_n}及其对应的“新型数列”{b_n}．

5 . 对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．

6 . 已知数列的前项和为，已知，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．

7 . 已知数列的首项，为前项和，若数列满足：对任意正整数，，当时，总成立，则称数列是“数列”.
（1）若是公比为3的等比数列，试判断是否为“数列”，说明理由；
（2）若是公差为的等差数列，且是“数列”，求实数的值；
（3）若数列既是“数列”，又是“数列”，求数列的通项公式.

8 . 有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.
（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.
（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.
（3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.

9 . 已知数列的首项a₁=1，前n项和为S_n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且a_n＞0，求数列的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

10 . 已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最大值