1 . 假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表，

			合计
合计

课本中给出统计量计算公式如下：

此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，），
把，，，称为期望频数，记作，
即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和）
根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示：

教学方法\成绩级别	低	中	高	总计
传统方法	20	30	50	100
在线学习	35	45	20	100
互动式学习	25	15	60	100
总计	80	90	130	300

(1)已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率．
(2)（i）求，；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异．
参考数据：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
	7.78	9.49	11.14	13.28	14.86

2 . 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．
●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值
●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为
(1)求参数，和的值以及函数的解析式；
(2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．

3 . 考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出：

其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（     ）

A．分母中的和是和的标准差.

B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关.

C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强.

D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较.

4 . （1）求方程的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足，求的范围.

5 . 如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度______.

6 . 已知，且，点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若，求面积的取值范围．

7 . 已知复数，是方程的解，复平面内表示的点A在第四象限，O是原点．
(1)点A关于虚轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量，对应的复数为，求的值；

8 . 平行四边形ABCD中，且，AB、CD的中点分别为E、F，将沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．三棱锥的外接球表面积为

D．点Q在线段PE上运动，则的最小值为

9 . 若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．

10 . 小明进行足球射门训练，已知小明每次将球射入球门的概率为0.5．
(1)若小明共练习4次，求在射入2次的条件下，第一次没有射入的概率；
(2)若小明进行两组练习，第一组射球门2次，射入次，第二组射球门3次，射入次，求．