1 . 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（       ）

A．开口向上的抛物线的方程为

B．

C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为

D．阴影区域的面积大于4

2 . 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．

3 . 大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（       ）（参考数据：）

A．

B．

C．

D．

4 . 为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在一个不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两红球，可获得价值(单位：百元)代金券(,均为整数).
(1)若，，求每位员工平均可获得多少代金券（即数学期望，单位：百元）；
(2)若已知每位员工平均可获得5.4(单位：百元)代金券，试估计手气最好者获得至多多少代金券(单位：百元).

5 . 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示．

(1)当时，求满足要求的绑缎带方法总数；
(2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起，
（i）当时，求Y的分布列和期望；
（ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）．

6 . 如图，点H是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，，若反比例函数的图像经过C，H两点，则k的值是（        ）

   

A．

B．12

C．

D．15

7 . 能够完全重合的两块直角三角形纸片按如图方式摆放，，.连接，交于点，交于点，若，，则线段的长为（        ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知双曲线C：的中心为O，离心率，点A在x轴上，，点P是C上一定点，P到x轴的距离为1，且．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求C上任一点和A的距离的最小值；
(3)若C上的点M，N满足，求证：在C上存在定点Q（异于P）使得P，M，N，Q在同一个圆上．

9 . 已知曲线.
(1)证明：；
(2)若曲线关于直线对称的曲线为，则称为与的一条对称轴.请写出与的一条对称轴，并探究是否存在其它的对称轴；
(3)已知是上的两点，是上的两点，若四边形为正方形，其周长为，证明：.（参考数据：）

10 . 已知正整数满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或.
(1)当时，写出的所有值及的值；
(2)探究的值；
(3)证明：.