1 . 如图，四棱锥中，，，E为PB的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

2 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.

3 . 如图1，在中，D，E分别为的中点；O为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，点F是线段上的一点（不包含端点）．

   

(1)求证：；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

4 . 已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．

5 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．

6 . 在三棱台中，为中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.

7 . 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.
(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；
(2)判断事件与是否相互独立，并证明.

8 . 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 已知正三棱锥的底面边长等于，顶点P在底面ABC内的投影为O，点O在侧面PAB内的投影为D，连接PD与棱AB交于点E．

(1)证明：点E是棱AB的中点；
(2)若点D是的重心，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．

10 . 设数列的前项之积为，且满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，证明：．