1 . 如图，在正三棱柱中，底面为的中点，为上一个动点.

(1)若为靠近点线段的三等分点，求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若有两个极值点，且，当取最小值时，求的极小值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，为的中点，为的中点.
   
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的正弦值

4 . 如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到沿翻折到，

   

(1)求证：平面平面；
(2)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．

5 . 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.

   

(1)求证：平面.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由．

6 . 在中，，，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点，分别为棱，的中点.

(1)求证：；
(2)当三棱锥的体积最大时，试在棱上确定一点，使得，并求二面角的余弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，为的中点，为的中点．

   

(1)证明：//底面；
(2)已知，二面角的平面角为，求四棱锥的体积．

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.

9 . 正三棱柱中，为的中点，点在上.
   
(1)证明：平面；
(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.

10 . 已知的一个顶点为抛物线的顶点O，两点都在抛物线上，且.
(1)求证：直线必过一定点；
(2)求面积的最小值.