1 . 已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.

3 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

4 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，．

   

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

5 . 已知函数，
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项;
(3)证明:

6 . 已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

7 . 如图①，在直角梯形中，,将沿折起，使平面平面，得到三棱锥，如图②所示．

(1)若E为的中点，试在线段上找一点F，使平面，并加以证明；
(2)求证：平面平面；
(3)求三棱锥的体积．

8 . 如图，在三棱锥 中，，，，点 ，（ 与 ， 不重合）分别在棱 ， 上，且 ．

(1)作过的平面平面，并证明；
(2)求证：．

9 . 设函数.
(1)证明不等式：；
(2)，若为函数g（x）的两个不等于1的极值点，设，，记直线PQ的斜率为k，求证：.

10 . 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．

(1)求证：平面；
(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．