1 . 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.
（Ⅰ）求证：是数列的母函数；
（Ⅱ）求数列的前项和.
(2)已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

2 . 已知.
（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；
（2）若函数在区间(0,1)上有两个不同的零点，求的取值范围.

3 . 义域为的函数满足：对任意实数x,y均有，且，又当时，.
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

4 . 已知定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数.

5 . 已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(2)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.

6 . 已知函数，，为常数.
(1)当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，设函数，判断函数在区间的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的结论.

7 . 如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求与面所成角大小的正弦值；
（3）求证：面.

8 . 函数对任意的都有，并且当时，
（1）判断函数是否为奇函数，
（2）证明：在上是增函数，
（3）若，解不等式；

9 . 已知数列满足： ，且是函数的零点．
（1）求；
（2）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．

10 . 已知数列的前项和满足：.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：.