1 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

2 . 如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别为的中点．

（1）证明：与在同一平面内；
（2）若，求证：平面．

3 . 在极坐标系中，，， ，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线1的参数方程为( t为参数，)，且点P的直角坐标为.
（1）求经过O，A，B三点的圆C的直角坐标方程；
（2）求证：直线l与（1）中的圆C有两个交点M，N，并证明为定值.

4 . 已知函数，是的导函数．
（1）求证：当时，，；
（2）设，证明：当时，．

5 . 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点为线段上一点.

(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.

6 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，函数的图象与函数的图象有两个交点，．
①求证：；
②比较与的大小．

7 . 如图所示，四棱锥底面为矩形，且，分别为的中点，点为线段上靠近点的三等分点.

(1)求证：平面；
(2)当时，求二面角的正弦值.

8 . 已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题:
(1)证明:为等腰三角形;
(2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围.

9 . 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

10 . 如图，抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，且，分别为线段和的中点．

(1)证明：直线与轴平行或重合．
(2)设圆，若为圆上的动点，设的面积为S，求S的最大值．