1 . 已知函数.
（1）求在点处的切线方程,并证明；
（2）若方程有两个正实数根，求证：.

2 . 已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上．

3 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，点P在C上（异于A，B两点），直线，的斜率之积为，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，过线段的中点G作直线的垂线，垂足为N，记的面积为S，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

4 . 已知函数．
(1)若，求的图像在处的切线方程；
(2)若恰有两个极值点，，且．
①求a的取值范围；
②求证：．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.

6 . 已知.
(1)当，证明；
(2)讨论的单调性；
(3)利用（1）中的结论，证明：.

7 . 数列满足，.
(1)若，求证：是等比数列.
(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.

8 . 已知函数，，在上有且仅有一个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.

9 . 已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.

(1)求的方程；
(2)证明：为定值.

10 . 已知函数，其中
(1)当时，证明
(2)若存在实数b，使得在上恒成立，求a的取值范围.