1 . 函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.

2 . 设函数，曲线在原点处的切线为x轴，
(1)求a的值；
(2)求方程的解；
(3)证明：

3 . 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．

5 . 在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男生评分结果的频数分布表

分数区间	频数
	3
	3
	16
	38
	20

   
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：

分数
满意度情况	不满意	一般	比较满意	满意	非常满意

(1)求a的值；
(2)为进一步改善食堂状况，从评分在的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取两名学生，求有且只有一人对食堂“比较满意”的概率.

6 . 已知函数，若函数在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)求的单调区间；
(3)当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：.

7 . 对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；
(2)若函数具有性质，且当时，，解不等式；
(3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合.

8 . 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

   

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
附：若随机变量服从正态分布，则，

9 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若方程的两个解为、，求证：.

10 . 已知曲线在点处的切线方程为.
(1)求a，c的值；
(2)证明：
(3)若关于x的方程有两个实数解，证明：.