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1 . 我国古代《九章算术》中将底面为矩形，顶部为一条棱，且棱与底面平行的五面体称为刍甍，如图，刍甍
有外接球，且
，
，
，
，则该刍甍外接球的表面积为______ .
有外接球，且，，，，则该刍甍外接球的表面积为
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2024-07-03更新
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220次组卷
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2卷引用：河北省保定市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题
2 . 帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
且满足：
.
注：
.
已知函数
在处的
阶帕德近似
.
(1)求的表达式；
(2)记
，当
时，证明不等式
；
(3)当
，且
时，证明不等式
.
，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：.注：
.已知函数
在处的阶帕德近似.(1)求
的表达式；(2)记
，当时，证明不等式；(3)当
，且时，证明不等式.
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3 . 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为
，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为
，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，
，重复上述裁剪操作
次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为______________ .
，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为
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解题方法
4 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角
所对的边分别为
，且
为的费马点.
(1)求角
；
(2)若
，求
的最大值；
(3)设
，求实数
的最小值.
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知
的内角所对的边分别为，且为的费马点.(1)求角
；(2)若
，求的最大值；(3)设
，求实数的最小值.
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解题方法
5 . 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 
，用 
表示不超过
的最大整数，则 
称为高斯函数，例如 
，
. 已知函数 
，函数 
，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）A．函数  不是周期函数； |
B．函数 的值域是  |
C．函数  的图象关于  对称： |
D．方程  只有一个实数根； |
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解题方法
6 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点
，连接
，求
的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将
绕点顺时针旋转
，得到
，连接
，则
的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋转
角得到向量
.
，把点
绕点
沿顺时针方向旋转
后得到点，求点的坐标；
(2)在中，
，借助研究成果，直接写出的最小值；
(3)已知点
，求的费马点的坐标.
的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.
，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；(2)在
中，，借助研究成果，直接写出的最小值；(3)已知点
，求的费马点的坐标.
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2024-06-28更新
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541次组卷
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3卷引用：四川省成都蓉城联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
四川省成都蓉城联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（已下线）专题6 以新定义为背景的相关问题【讲】（高一期末压轴专项）
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解题方法
7 . 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形，如图1，在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖（如图2），我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究，推导出了球体体积公式．设平行于水平面且与水平面距离为
的平面为
，则平面截牟合方盖所得截面的形状为______ （填“正方形”或“圆形”），设半径为r的球体体积为
，图2所示牟合方盖体积为
，则
______ ．
的平面为，则平面截牟合方盖所得截面的形状为，图2所示牟合方盖体积为，则
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8 . 克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中
．
(1)若圆O的半径为r，且
，
(ⅰ)求
的大小；
(ⅱ)求
的取值范围(用r表示)．
(2)若
，求线段BD长度的最大值．
．(1)若圆O的半径为r，且
，(ⅰ)求
的大小；(ⅱ)求
的取值范围(用r表示)．(2)若
，求线段BD长度的最大值．
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2024-06-27更新
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283次组卷
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2卷引用：浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
9 . 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点：如图，在横坐标为
的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为
；用代替重复上面的过程得到
；一直下去，得到数列
，叫作牛顿数列．若函数
，
且
，
，数列
的前项和为
，则下列说法正确的是（ ）
的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． | B．数列是递增数列 |
| C．数列是等差数列 | D． |
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解题方法
10 . 2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为
的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体
，设为外壳上的一个动点，则（ ）
的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则（ ）
A．存在无数个点，使得 平面 |
B．当平面 平面 时，点的轨迹长度为 |
C．当平面 时，点的轨迹长度为 |
D．存在无数个点，使得平面 平面 |
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2024-06-25更新
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305次组卷
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2卷引用：四川省成都市蓉城高中教育联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题
