1 . 已知函数（，为自然对数的底数）．
(1)若是的极值点，求的取值范围；
(2)若只有一个零点，求的取值范围．

2 . 已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.

3 . 已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点，直线与椭圆交于不同的两点.
（I）求椭圆的方程；
（II）若的面积为1（为坐标原点），求直线的方程.