解题方法
1 . 当
，且
时，我们把
叫做数列
的
阶子数列，若成等差（等比）数列，则称
为数列的阶等差（等比）子数列.已知项数为
，且
的等差数列
的首项
，公差
.
(1)写出数列
的所有3阶等差子数列；
(2)数列中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
(3)记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为
，求证：
.
，且时，我们把叫做数列的阶子数列，若成等差（等比）数列，则称为数列的阶等差（等比）子数列.已知项数为，且的等差数列的首项，公差.(1)写出数列
的所有3阶等差子数列；(2)数列
中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；(3)记数列
的3阶和4阶等差子数列个数分别为，求证：.
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解题方法
2 . 设数列
，
…，即当
时，
记
为数列
前
项和.对于
，定义集合
是
的整数倍，
，且
.则集合
中元素的个数为______ ；集合
中元素的个数为______ .
，…，即当时，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.则集合中元素的个数为中元素的个数为
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3 . 记
分别为函数
的导函数.若存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“S点”.则下列说法正确的是（ ）
分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.则下列说法正确的是（ ）A．函数 与 不存在“S点” |
B．若函数 与 存在“S点”，则 |
C．对于函数 与 .对于任意的 ，均不存在 ，使得函数与在区间 内存在“S点” |
| D．对于函数与.对于任意的，存在，使得函数与在区间内存在“S点” |
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4 . “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.
(1)利用恒等式
和
，求函数
和
的最小值.
(2)在
中，角
对应的边为
.
（i）求证：
.
（ii）已知实数
满足
求二元函数
的最大值.
(1)利用恒等式
和，求函数和的最小值.(2)在
中，角对应的边为.（i）求证：
.（ii）已知实数
满足求二元函数的最大值.
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73次组卷
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2卷引用：江苏省苏州市部分学校2025届高三7月适应性模拟演练数学试题
5 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为
的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为
.
(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当
时，若
构成等比数列，求正整数；
(3)记
，求证：
.
除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当
时，若构成等比数列，求正整数；(3)记
，求证：.
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7日内更新
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112次组卷
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15卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷（已下线）第四套 艺体生新高考全真模拟 （一模重组卷）广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试（二）数学试卷A福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）高考数学冲刺押题卷02（2024新题型）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（已下线）专题06 数列湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）高二下学期第三次月考模拟卷（新题型）（范围：导数+选择性必修第三册）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次大考数学试题（已下线）第18题 数列与集合结合的新定义问题（高三备考9月刊）
解题方法
6 . 已知双曲线
的中心为坐标原点，左焦点为
，渐近线方程为
.
(1)求的方程；
(2)若互相垂直的两条直线
均过点
，且，直线
交于两点，直线
交于
两点，
分别为弦
和
的中点，直线
交
轴于点
，设
.
①求
；
②记
，
，求
.
的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.(1)求
的方程；(2)若互相垂直的两条直线
均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.①求
；②记
，，求.
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380次组卷
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2卷引用：黑龙江省大庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题
7 . 已知抛物线
：
的焦点为
，过点的直线与相交于点
，
，
面积的最小值为
（
为坐标原点）.按照如下方式依次构造点
：
的坐标为
，直线
，
与的另一个交点分别为
，
，直线
与轴的交点为
，设点
的横坐标为
.
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式；
(3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.(1)求
的值；(2)求数列
的通项公式；(3)数列
中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
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名校
解题方法
8 . 已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明
时，
；
(3)若对于任意的，关于的不等式
恒成立，求出的取值范围.
．(1)求函数
的单调区间；(2)证明
时，；(3)若对于任意的
，关于的不等式恒成立，求出的取值范围.
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9 . 设集合
则集合
中最小的元素是______ ，集合中最大的元素是______ ．
则集合中最小的元素是中最大的元素是
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解题方法
10 . 定义在上的函数满足
，当
时，
，则（ ）
上的函数满足，当时，，则（ ）A．当 时， |
B．当为正整数时， |
C．对任意正实数 在区间 内恰有一个极大值点 |
D．若在区间 内有3个极大值点，则的取值范围是 |
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