1 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

2 . 已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若，则
（ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点．
(1)若函数，求（写出结果即可）
(2)证明：若，则．
(3)若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．

3 . 若函数有个零点，且从小到大排列依次为，定义如下：．已知函数（其中为实数）．
(1)设是的导函数，试比较和的大小；
(2)若，求的取值范围；
(3)对任意正实数，证明：．

4 . 在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．
(1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式；
(2)当N足够大时，证明：（其中）；
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．

5 . 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且．
(1)求的方程；
(2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，．
①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：为定值．

6 . （1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式；
（2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数.
①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式：
②记，证明：数列中存在小于1的项.

7 . 现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．
(1)若，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望；
(2)若，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，求：
（i）的概率；
（ii）的分布列．

8 . 如图，矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上.

(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于.
①证明：为定值；
②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由.

9 . 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记．
(1)若到平面的距离均为1，求；
(2)若是的重心，且对任意，均有．
（i）求的最大值；
（ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立．
（参考公式：）

10 . 我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作”
比较的大小，若，则交换的位置；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，若，再交换；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，，直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，…，直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作．
(1)请对数列5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数．
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为
（i）求的最小值和最大值；
（ii）对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为，求的通项．