1 . 对于函数，记.已知定义在上的函数满足，当时，，其中是给定的正整数，记集合.
(1)当时，求；
(2)证明：当时，；
(3)求.

2 . 已知随机变量X的分布列如下：

	1	2	3	…	n
				…

若数列是等差数列，则（       ）

A．若n为奇数，则	B．
C．若数列单调递增，则	D．

3 . 设为正整数，，，记.
(1)当时，若，，求的值；
(2)当时，设集合，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多；
(3)当时，，，其中是锐角的三个内角，证明：.

4 . 第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛.
(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立；
（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望.
(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值.

5 . 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
(2)当时，证明：①；②；
(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．

6 . 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．

7 . （1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标．
（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？

8 . 仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中．
(1)求的值：
(2)对于给定的，计算以下两式的值：与
(3)对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明．

9 . 已知集合（其中是虚数单位），定义：，.
(1)计算的值；
(2)记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、；
(3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，．

10 . 已知双曲线，过的直线与双曲线的右支交于两点.
(1)若，求直线的方程，
(2)设过点且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上.       
（i）设和的面积分别为，求的取值范围；
（ii）若关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆.