1 . 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则________，________．

2 . 设样本空间，，其中两两互相独立．设随机事件对应的结果值为，随机变量和的取值分别为样本空间和中所发生事件的结果值，从而它们的数学期望，.
(1)证明：，；
(2)小明抛一枚奇葩的硬币，有的概率朝上，的概率朝下，的概率立起来．记朝上为分，朝下为分，立起来是分，设随机变量是小明抛次硬币所得的分数，求，；
(3)若随机变量，证明：，.

3 . 设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.
(1)若随机变量的分布列为

	1	2	3

其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.
(2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.
(3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.

4 . 所有非零向量构成的集合为，对于，定义.
(1)已知，若，且，求；
(2)已知，若，且，求；
(3)已知，当时，若关于的方程有三个连续的实数根，且，求实数的值.

5 . 曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上.
(1)若，，且，求n；
(2)已知，求的取值范围；
(3)已知点，为的中点，记的最大值为，求的最小值.

6 . 如图①，在等腰直角中，，，M，N是边AC，AB上动点，将沿MN折起到如图②的位置，连接 PB，PC，且平面平面ABC．

(1)当M，N分别是边AC，AB的中点时，求异面直线PN与BC所成的角；
(2)若点M与点C重合，设，三棱锥P-BMN的体积为，求的值；；
(3)若四棱锥P-BCMN在同一个球面上，求该球表面积的最小值．

7 . 等差数列的特点是每一项与前一项之差相等．如果数列不是等差数列，但每一项与前一项之差构成等差数列，即是等差数列，则叫作二阶等差数列．与前述类似，若是二阶等差数列，则叫作三阶等差数列．如此可以对更大的整数归纳地定义阶等差数列．高阶等差数列的研究，始于北宋科学家沈括《梦溪笔谈》中的隙积术，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中明确地推得一些对高阶等差数列求和公式，元代数学家朱世杰将此类问题进一步推广．
(1)已知数列为二阶等差数列，其前5项分别为2，3，5，8，12．
①求数列的通项公式；
②求数列的前项和；
(2)若数列的通项公式为，数列的前项和记为，若将数列的前项和记为，数列的前项和记为依次类推．
①求；
②求（只写出结果）．
参考数据：．

8 . 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形．

(1)求，，；（直接写出结果）
(2)求数列的通项公式；
(3)设，证明：．

9 . 已知圆，圆心关于直线对称点为为圆上两点，且满足，点为坐标原点，则下列正确的是（   ）

A．	B．轴与圆相切
C．线段的中点轨迹为圆	D．的最大值为

10 . 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为.
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限：
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量.
(1)证明：；
(2)求随机变量的数学期望；
(3)求随机变量的方差.