1 . 设为坐标原点，为抛物线上异于的一点，，．
(1)求的最小值；
(2)求的取值范围；
(3)证明：．

2 . 设，满足．
(1)证明：若，则当时，．
(2)若存在满足，证明．

3 . 17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律：
(a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；
(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等.
(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.
开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.
   
(1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数)
(2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论.

4 . 设的外接圆半径是均为锐角，且.
(1)证明：不是锐角三角形；
(2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有.

5 . 在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明：
(1)；
(2)．

6 . 如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．

(1)求证：；
(2)求的度数及的长；
(3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．

7 . 已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．

8 . 已知函数
   
(1)请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；
(2)定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.
①求函数的不动点；
②求函数的稳定点.

9 . 对任意满足的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.

10 . 如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明：
   
(1)点在的外接圆上；
(2)为定点.