2 . 设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．

3 . 已知函数.
(1)若的极小值为-4，求的值；
(2)若有两个不同的极值点，证明：.

4 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.

(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
(3)余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.

5 . 已知．
(1)若，解不等式；
(2)当（）时，的最小值为3，若正数、满足，证明：．

6 . 已知双曲线的焦距为，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.
①求的取值范围；
②求证：直线过点．

7 . “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形是边长为3的正方形，，．

(1)证明：四棱锥是一个“阳马”；
(2)已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求的值．

8 . 已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．

9 . 已知函数，如果存在常数，对任意满足的实数，其中，都有不等式恒成立，则称函数是“绝对差有界函数”
(1)函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围；
(2)对于函数，存在常数，对任意的，有恒成立，求证：函数为“绝对差有界函数”
(3)判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由

10 . 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
(1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
(2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．